Пуанкаре ввів у фізику теорію груп і першим дослідив групу перетворень Лоренца. Він також зробив великий внесок у теорію дискретних груп та їх уявлень.
він зробив низку глибоких інновацій у геометрії, теорії диференціальних рівнянь, електромагнетизмі, топології та філософії математики. Пуанкаре виріс у Нансі та вивчав математику з 1873 по 1875 рік у Політехнічній школі в Парижі.
Пуанкаре також вважається засновником теорії аналітичних функцій кількох комплексних змінних. Він почав свій внесок у цю тему в 1883 році з роботи, в якій він використовував принцип Діріхле, щоб довести, що мероморфна функція двох комплексних змінних є часткою двох цілих функцій.
Пуанкаре працював над проблемою співвідношення маси і енергії запропонував парадокс, який Ейнштейн зміг вирішити за допомогою формули E=mc2, і був одним з перших, хто запропонував гравітаційні хвилі, теорія, підтверджена Ейнштейном у 1916 році.
Він вказує, що Ріман був першим, хто зрозумів, що топологію можна відокремити від геометрії на користь обох. Пуанкаре виходить на сцену як природний спадкоємець Рімана і як батько топології.
Вважається багатьма найкращим математиком усіх часів, Гаус зробив внесок у цю тему завдяки своїм дослідженням теорії чисел, геометрії та теорії ймовірностей (серед багатьох інших тем).