Симетрична група S3: Група всіх перестановок трьох об’єктів із 6 різними елементами. Приклад: елементом симетричної групи S3 може бути перестановка (123) → (231), яка відображає 1 на 2, 2 на 3 і 3 на 1.
Він складається з шести елементів: ідентичності, трьох транспозицій, які відповідно міняють місцями 1 і 2, 2 і 3 і 1 і 3, і, нарешті, два цикли, один, який змінює 1 на 2, 2 на 3 і 3 на 1, і інший, який зміщує все в іншому напрямку.
Елементи належать до третьої основної групи бор, алюміній, галій, індій і талій. У той час як бор має переважно неметалічні властивості, алюміній, галій, індій і талій є металами. Їх також називають земляними металами.
(i) У S3 єдиними підгрупами порядку 2 є: {1,(12)},{1,(13)},{1,(23)} (ii) У S3 єдиною підгрупою порядку 3 є: {1,(123),(132)}. У S4 єдиними підгрупами порядку 3 є: {1,(123),(132)}, {1,(124),(142)}, {1,(134),(143)}, {1,( 234), (243)}.
S3 незнищенний, але непростий S3 нелегка, оскільки A3 є підгрупою з індексом 2. З іншого боку, якщо S3 є розкладним, то S3=A×B, де |A|=2 і |B|=3. Однак у цьому випадку A=Z2 і B=Z3, а добуток є циклічною групою порядку 6; протиріччя.
Я це знаю S3 — це набір усіх перестановок трьох елементів (x,y,z) або (1,2,3). і порядок S3 дорівнює 6.