За допомогою методу Ньютона Початкове значення вставляється у формулу, а потім отриманий результат знову вставляється у формулу. Якщо ви продовжите це, ви в ідеалі отримаєте все кращий результат для нуля функції. Тому нульова точка розраховується приблизно.
Метод Ньютона є для наближення нулів функції використовується. Це ітераційний процес. Спочатку проводиться приблизна оцінка області, в якій знаходиться нульова точка функції. Це значення використовується як початкове значення в ітераційному правилі.
Метод Ньютона — техніка розв’язування рівнянь виду f(x)=0 шляхом послідовного наближення. Ідея полягає в тому, щоб вибрати початкову оцінку x0 так, щоб f(x0) було достатньо близьким до 0. Потім ми знаходимо рівняння дотичної до y=f(x) при x=x0 і відстежуємо його назад до осі x при новому (і покращеному!) значенні .
Алгоритм для методу Ньютона: (1) Виберіть початкове значення x0 (бажано близьке до кореня з f). (2) Для кожної оцінки xn обчисліть нову оцінку xn+1=xn−f(xn)f′(xn). (3) Повторюйте крок (2), доки оцінки не стануть «достатньо близькими» до кореня або доки метод не «зазнає невдачі».
Як і всі методи ітерації з фіксованою точкою Метод Ньютона може сходитися в околиці кореня, але це не обов’язково . Як ми бачили в останній лекції, збіжність ітераційних методів з фіксованою точкою гарантується лише тоді, коли g′(x) < 1 в околицях кореня. Навіть метод Ньютона не завжди може гарантувати цю умову.
Англійський астроном і фізик Ісаак Ньютон був найбільшим ерудитом свого часу, можливо, навіть усіх часів. Він сформулював три аксіоми механіки і тим самим заснував класичну теоретичну фізику. Своєю славою Ньютон завдячує своєму закону тяжіння.