Матриця M діагоналізована тоді і тільки тоді, коли сума геометричних кратностей дорівнює розміру M. Але кожна геометрична кратність завжди менша або дорівнює відповідній алгебраїчній кратності.
(щоразу демонструвати знову) Якщо матриця A, яка не є кратною тотожності, має лише одне власне значення, тоді A не можна діагоналізувати.
Таким чином, матриця є діагоналізованою тоді і тільки тоді, коли його нільпотентна частина дорівнює нулю . Іншими словами, матриця є діагоналізованою, якщо кожен блок її жорданової форми не має нільпотентної частини; тобто матриця один за одним.
2. А є діагоналізованим якщо існує оборотна матриця P така, що P−1AP = ∆, де ∆ – діагональ.
немає Щоб матриця розміром n на n була діагоналізованою, вона повинна мати n незалежних власних векторів . Наявність n різних власних значень є достатньою умовою, оскільки це гарантує n незалежних власних векторів, але це не є необхідною умовою, оскільки існують матриці з повторюваними власними значеннями, які завжди мають n незалежних власних векторів.
Розглянемо ендоморфізм ϕ простору E або матриці A власних значень (від 2 до 2 різних) λ1,…,λt. Щоб ϕ або A були діагоналізованими, необхідно і достатньо, щоб вони були скорочені поліномом P(X)=(X − λ1) … (X − λt).