Щоб довести, що R[x] ≤ 2 a Підвекторний простір ми повинні показати, що:
- Нульовий поліном 0 x 2 + 0 x + 0 входить до набору.
- Сума двох поліномів у наборі знову є поліномом ступеня.
- Множення полінома в наборі на скаляр дає поліном ступеня.
У векторному просторі всіх відображень між двома векторними просторами над одним тілом набір лінійних відображень утворює підвекторний простір.
Kernel(f) є підвекторним простором V, Image(f) є підвекторним простором W. Тривіальним є: f є сюр’єктивним тоді і тільки тоді, коли Image(f) = W. З іншого боку, це не зовсім тривіально: f є ін’єктивним саме тоді, коли Kern(f) = 0.
У векторному просторі V може статися таке деякі непорожні підмножини W ⊆ V з операціями в V також є векторними просторами. Такі підмножини W тоді називаються субвекторними просторами V.
Щоб довести, що W є підпростором V, ми повинні підтвердити, що W задовольняє трьом умовам, які визначають підпростір: 1. Нульовий вектор V лежить у W. 2. Якщо u та v лежать у W, то їх сума (u + v) також лежить у W.